{"id":39679,"date":"2022-02-23T14:53:19","date_gmt":"2022-02-23T13:53:19","guid":{"rendered":"https:\/\/www.musikzeitung.ch\/?p=39679"},"modified":"2023-01-24T12:28:07","modified_gmt":"2023-01-24T11:28:07","slug":"diagrammatik-der-chromatischen-skalen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.musikzeitung.ch\/en\/rezensionen\/web\/2022\/02\/diagrammatik-der-chromatischen-skalen","title":{"rendered":"Diagrammatics of the chromatic scales"},"content":{"rendered":"\n\n
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\"Diagrammatik
Ren\u00e9 Descartes, Compendium Musicae, Amsterdam 1683. Bild: Medienarchiv ZHdK<\/figcaption><\/figure>\n

Darumb sollte man billich mehr Clavier haben \/ also \/ dass man zwey d hette \/ die nur ein Comma von einander weren; Aber weil solches auch in andern Clavibus geschicht \/ w\u00fcrden der Clavier, sonderlich wenn die geduppelte Semitonia auch noch dazu kemen \/ gar zu viel werden; Darumb muss man die temperatur brauchen [\u2026]\u00a0\u00a0Praetorius 1620, S. 157<\/em><\/p><\/blockquote>\n<\/div>\n

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Die Visualisierungen im digitalen\u00a0Lexikon der Stimmungen<\/em><\/a>\u00a0von Hans Eugen Frischknecht und Jakob Schmid lassen die \u00abDur-Dreiklangtauglichkeit\u00bb von Skalen mit 12 T\u00f6nen pro Oktave auf einen Blick hervortreten, und machen sie gleichzeitig auch h\u00f6rbar. Diese besondere Darstellung soll im Folgenden anhand von drei ausgew\u00e4hlten Beispielen er\u00f6rtert und mit anderen Arten der Veranschaulichung musikalischer Skalen verglichen werden. Daran schliessen sich ein paar eher unsystematische \u00dcberlegungen zur Weiterentwicklung von interaktiven Anwendungen zu Tonsystemen und Stimmungen an.<\/p>\n

Die Diagramme werden im Lexikon aus den Cent-Abweichungen zur gleichstufigen chromatischen Skala in 12 Halbt\u00f6ne (12-EDO = Equal Division of the Octave) berechnet, welche in diesem Aufsatz die gleichstufige (chromatische) Skala genannt wird. \u00dcber Cent-Angaben k\u00f6nnen verschiedene Stimmungen miteinander verglichen werden. Die Cent-Skala f\u00fcr Tonh\u00f6hen und Intervalle beruht auf der Teilung der Oktave in 1200 gleich grosse Mikrointervalle. Die Halbt\u00f6ne der gleichstufigen chromatischen Skala messen deshalb 100, die grossen Terzen 400 und die Quinten 700 Cent. Der Durdreiklang in Grundstellung und engster Lage hat demnach die Cent-Werte [0 | 400 |700], wenn man dem Grundton den Wert 0 gibt \u2013 allgemein [x | x + 400 | x + 700], wenn x der Cent-Wert des Akkordgrundtons bez\u00fcglich des Referenztons c (oder a) ist. Der reingestimmte Durdreiklang hingegen hat (auf das n\u00e4chste Cent gerundet) die Werte [0 | 386 | 702] und steht in der Frequenzproportion 4 : 5 : 6. Akkorde aus T\u00f6nen mit einfachen Grundfrequenzproportionen werden als weitgehend fluktuationsfrei und konsonant empfunden, wenn die beteiligten T\u00f6ne je ein harmonisches Obertonspektrum haben. Die Zahlen zeigen, dass die Abweichungen der gleichstufigen von den reinen Werten bei der Quinte nur 2 und bei der grossen Terz aber 14 Cent-Einheiten betragen. Die unterschiedliche Wirkung der beiden Dreikl\u00e4nge liegt haupts\u00e4chlich an den verschieden grossen Terzen und an der Klangfarbe.<\/p>\n<\/div>\n

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Wie sind die Diagramme des Lexikons zu verstehen?<\/h3>\n<\/div>\n
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Lassen sich die Bauprinzipien einer Skala aus dem visualisierten Zahlenmaterial rekonstruieren? Das ist nicht selbstverst\u00e4ndlich. Solange prim\u00e4r Durdreikl\u00e4nge und ihre enharmonischen \u00c4quivalente in Skalen mit zw\u00f6lf T\u00f6nen pro Oktave im Fokus stehen, ist die Darstellung zwar universell einsetzbar, gleichzeitig aber reduziert sie Tonh\u00f6hensysteme, die zwei und h\u00f6herdimensional gedacht sind, in eine einzige Dimension.<\/p>\n

Leonhard Euler hat eine chromatische Skala, die einem zweidimensionalen Tonh\u00f6hennetz entstammt, vorgeschlagen (Euler 1739, S. 147, 279). Ihre Wiedergabe im\u00a0Lexikon der Stimmungen<\/em>\u00a0ist in Abbildung 1 oben zu sehen. Die Grundtonsymbole, die zw\u00f6lf kleinen rote Kreise, bilden drei Vierersequenzen, die je auf leicht geneigten parallelen Geradenabschnitten liegen (wenn die beiden C an den Enden der Grafik gedanklich zusammengelegt werden):
\nf-c-g-d \/ a-e-h-fis \/ cis-gis-es-b<\/p>\n

Die charakteristische positive Steigung (je 2 Cent pro Quinte) der Geradenabschnitte zeigt an, dass die betreffenden Quinten rein gestimmt sind. Die Skala zerf\u00e4llt in drei Gruppen zu vier T\u00f6nen mit je drei reinen Quintschritten. Diese sind in der obersten Grafik von Abbildung 1 zur Verdeutlichung rot eingerahmt. Die vertikalen Positionen der Grundtonsymbole bestimmen die Intervallstruktur einer Skala vollst\u00e4ndig (dies gilt f\u00fcr alle Skalen). Auch die grossen Terzen oder die Quinten bestimmen die Skala vollst\u00e4ndig. Die Terz- und Quintsymbole bilden deshalb bei Euler ebenfalls Vierergruppen auf leicht geneigten Geradenabschnitten. Diese redundante Darstellung, der in den 12 Halbton- bzw. Quintschritten enthaltenen Information l\u00e4sst die Durdreikl\u00e4nge als Punktekonfigurationen in der Vertikalen hervortreten. Und dank dieser Redundanz erschliessen sich die harmonischen Bauprinzipien einer Skala.<\/p>\n<\/div>\n

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Abb. 1: Bez\u00fcglich Durdreiklangreinheit hat das Universum der 12-t\u00f6nigen Skalen des Lexikons der Stimmungen die beiden Pole Leonhard Euler (oben) und die gleichstufige Skala (Mitte). Die ann\u00e4hernd mittelt\u00f6nige Stimmung von Michael Praetorius (unten) bewegt sich im Mittelfeld und reduziert Eulers Bevorzugung der Grossterzverwandtschaft zugunsten quintverwandter Durskalen zwischen B-Dur und A-Dur mit acht nahezu harmonischen Durdreikl\u00e4ngen.<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n
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Eulers Skala enth\u00e4lt die maximal m\u00f6gliche Anzahl von sechs idealen Durdreikl\u00e4ngen. Weil bei F, C, G sowie A, E und H alle drei Tonsymbole zusammenfallen, liegt reine Intonation [x\u00a0| x + 386 | x + 702] vor. Aufgrund ihrer Intervallstruktur ist es in dieser Skala m\u00f6glich, in den terzverwandten Tonarten C-Dur und A-Dur mit ausnahmslos idealen Durdreikl\u00e4ngen zu musizieren, und die beiden terzverwandten Skalen liegen eine reine grosse Terz im Frequenzverh\u00e4ltnis 5\/4 auseinander. Die anderen zehn \u00abDurtonarten\u00bb haben alle mehr oder weniger stark modifizierte Dreikl\u00e4nge. Im hervorgehobenen B-Dur-Dreiklang, beispielsweise, entspricht keines der drei konstituierenden Intervalle der Norm der reinen Stimmung, da alle drei Symbole verschiedene vertikale Positionen einnehmen. Quintverwandte Dreikl\u00e4nge stehen in den Grafiken jeweils direkt nebeneinander. In Eulers Skala heben sich die Tonarten Es-Dur und As\/Gis-Dur in ihrer Intervallstruktur am st\u00e4rksten von C-Dur und A-Dur ab, denn keiner der gezeichneten Dreikl\u00e4nge hat die ideale Punktform (die Dreikl\u00e4nge dieser beiden Skalen sind in der Zeichnung violett umrahmt). Die Fokussierung des Blicks auf jeweils drei benachbarte Akkorde zeigt auch, dass G-Dur und H-Dur (mit blauen Ellipsen hervorgehoben) bei Euler die gleiche Intervallstruktur haben, weil die zugeh\u00f6rigen Symbolmuster deckungsgleich sind. In diesen beiden Tonarten sind die Quinten der Dominantdreikl\u00e4nge verkleinert, aber ihre grossen Terzen sind rein. Die Subdominate und die Tonika haben die Idealform.<\/p>\n

Leichter zu deuten ist die in der Mitte von Abbildung 1 dargestellte Skala. Hier haben alle zw\u00f6lf Dreikl\u00e4nge die gleichen Abweichungen von der reinen Intonation, und die drei Linien von Symbolen verlaufen horizontal. Es handelt sich um die gleichstufige Stimmung, die Quintsymbole liegen knapp 2 Cent unter den Grundtonsymbolen (700-702=-2) und die grossen Terzen 14 Cent dar\u00fcber (400-386=+14). Die Quinten sind also nur wenig kleiner als rein, die grossen Terzen aber merklich weiter als ihre reingestimmte Entsprechung. Ein allf\u00e4lliger Bedeutungsunterschied der T\u00f6ne b und ais kann in dieser Konstellation nicht akustisch zum Ausdruck gebracht werden. W\u00e4hrend enharmonische Umdeutungen in der gleichstufigen Stimmung kein Intonationsproblem darstellen, beinhaltet die Auswahl von zw\u00f6lf T\u00f6nen in einer reinen syntonischen (das heisst quint-\/terzbasierten) Stimmung wie derjenigen von Euler immer auch Entscheidungen \u00fcber bevorzugte enharmonische Varianten. Der etwas irritierende B-Dur-Dreiklang in Eulers Skala entpuppt sich bei genauerem Hinsehen n\u00e4mlich als ais-d-f mit einer verminderter Quarte ais-d und einer pythagoreischen Terz d-f, wie die Darstellung von Eulers Skala im Quint-Terzgitter von Abbildung 2 zeigt. In dieser Darstellung werden reine Quinten in der horizontalen und reine grosse Terzen in der vertikalen Richtung angeordnet, sodass den idealen Dur- und Molldreikl\u00e4ngen kleine rechtwinklige Dreiecke entsprechen, der ungew\u00f6hnliche \u00abB-Durdreiklang\u00bb hingegen besteht aus Eckpunkten des Rechteckgitters und ist ganz anders aus Terzen und Quinten aufgebaut.<\/p>\n<\/div>\n

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Abb. 2: Gitterdarstellung der chromatischen Skala gem\u00e4ss Leonhard Euler (links) und Marin Mersenne (rechts) Hervorgehoben sind die idealen Dur- und Molldreikl\u00e4nge von C-Dur sowie der Akkord ais-d-f bzw. b-d-f, der bei Mersenne aus einer pythagoreischen grossen Terz und einer reinen Quinte besteht.<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n
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Gitterdarstellungen sind bereits im 17. und im 18. Jahrhundert verwendet worden (Muzzulini 2020, 225). Sie eignen sich nicht direkt f\u00fcr temperierte Stimmungen. Daf\u00fcr k\u00f6nnen damit auch syntonische Skalen mit mehr als 12 T\u00f6nen pro Oktave dargestellt werden. Ab dem 14. Jahrhundert sind verschiedentlich Skalen mit 17 und mehr T\u00f6nen pro Oktave vorgeschlagen worden. In Skalen mit 17 T\u00f6nen werden die f\u00fcnf Notenpaare cis-des, dis-es, fis-ges, gis-as und ais-b typischerweise mit zwei verschiedenen Tonh\u00f6hen umgesetzt (vgl. die Beitr\u00e4ge von Martin Kirnbauer, Rudolph Rasch, Denzil Wright und Patrizio Barbieri im\u00a0Jahrbuch f. Musikwissenschaft<\/em>\u00a02002). Gitterdarstellungen \u2013 auch nicht rechtwinklige \u2013 sind in der zeitgen\u00f6ssischen theoretischen Literatur \u00fcber Stimmungen weit verbreitet, und mit Zusatzinformationen k\u00f6nnen damit auch mittelt\u00f6nige und andere Stimmungen veranschaulicht werden (Lindley, 1987,\u00a0Jahrbuch f. Musikwissenschaft<\/em>, 2002; Lindley, 1993, S. 28).<\/p>\n

Anders als in Eulers L\u00f6sung ist es in der Skala von Michael Praetorius (Abb. 1 unten) m\u00f6glich, in den Tonarten zwischen B-Dur und A-Dur mit Dreikl\u00e4ngen, die alle n\u00e4her an der Idealform als ihre gleichstufigen Entsprechungen sind, zu musizieren \u2013 auf Kosten der restlichen vier Dreikl\u00e4nge. Modulationen zwischen Durskalen, die im Quintenzirkel C-Dur und G-Dur nahe stehen, f\u00fchren also nicht zu nennenswerten Intonationsunterschieden. Daf\u00fcr sind alle Quintschritte mit Ausnahme von gis-es kleiner als rein \u2013 und merklich kleiner als in der gleichstufigen Skala, denn die Grundtonsymbole bilden eine nach rechts abfallende Linie. Die sehr grosse verminderte Sexte gis-es, welche die kleinen anderen Quinten kompensiert, wird auch Wolfsquinte genannt. An der Cent-Skala am linken Bildrand sieht man, dass der \u00abWolf\u00bb von Praetorius etwa um ein Viertel eines Halbtons gr\u00f6sser als die Quinte der gleichstufigen Stimmung ist, da die rote Verbindungslinie zwischen gis und es um rund 25 Cent ansteigt.<\/p>\n<\/div>\n

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Abb. 3. Kreisdiagramme aus dem 17. Jahrhundert. Links: Diatonische Skala mit syntonischem Komma (\u00abSchisma\u00bb, 480 : 486 = 80 : 81). Die Zahlen stehen f\u00fcr (geeignet skalierte) Saitenl\u00e4ngen am Monochord. Die Oktave schliesst sich beim \u00abSemitonium majus\u00bb (288 (576) | 540 (270)) im Verh\u00e4ltnis 16\/15. Das recht ungenau gezeichnete Diagramm entstammt der \u00e4ltesten erhaltenen Abschrift des heute verschollenen Originals von Ren\u00e9 Descartes‘ \u00abCompendium music\u00e6\u00bb, die etwa 1628 f\u00fcr Isaak Beeckman angefertigt wurde (Descartes (1619, fol. 171r). Rechts: Marin Mersennes Analyse einer chromatischen Skala in reiner Stimmung (Mersenne 1636, 132).<\/dd>\n<\/dl>\n<\/div>\n
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Da im\u00a0Lexikon der Stimmungen<\/em>\u00a0nur oktavperiodische Skalen betrachtet werden, sind ihre T\u00f6ne genau genommen Oktavklassen oder Tonigkeiten (engl. pitch classes). Daf\u00fcr bieten sich auch kreisf\u00f6rmige Darstellungen der T\u00f6ne an. Die von Frischknecht und Schmid verwendete Darstellung zeichnet den C-Dur-Dreiklang am linken und am rechten Ende der Grafik. Vorstellbar w\u00e4re auch die Darstellung auf einem Zylindermantel, der dadurch entst\u00fcnde, dass die Grafik ausgeschnitten und der linke mit dem rechten Bildrand verklebt wird. Die Quintkette bildet darauf eine geschlossene Linie und die Nachbarschaft der drei Durdreikl\u00e4nge in der C-Dur-Skala wird ersichtlich. Eine entsprechende \u00dcbertragung der gleichen Information auf ein Quintzirkel-\u00abZifferblatt\u00bb, bei dem die Intonations\u00e4nderungen in radialer Richtung eingetragen sind, w\u00e4re eine faire, allerdings ebenfalls ungewohnte Darstellung. In kreisf\u00f6rmigen Anordnungen der chromatischen Skala sind die Intervalle h\u00e4ufig als Winkel dargestellt. Das syntonische Komma im Grundfrequenzverh\u00e4ltnis 81\/80 misst knapp 22 Cent und m\u00fcsste in Descartes\u2018 Kreisdiagramm von Abbildung 3 links einem Winkel von etwas weniger als 6\u00b0 entsprechen. Im Unterschied zu den uneinheitlichen Winkeln in diesem Manuskript entsprechen die Winkel im lateinischen Erstdruck recht genau den Intervallgr\u00f6ssen, vgl. Muzzulini (2015, 197-199), Wardhaugh (2008). Das Kreisdiagramm von Mersenne in Abbildung 3 rechts ordnet die zw\u00f6lf Noten der chromatischen Skala auf einem fast regelm\u00e4ssigen Zw\u00f6lfeck an. Die Verbindungen der Noten sind mit den zugeh\u00f6rigen Frequenzverh\u00e4ltnissen beschriftet. Daraus l\u00e4sst sich die Gitterdarstellung von Abbildung 2 rechts ableiten.<\/p>\n<\/div>\n

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Alternative Darstellungsm\u00f6glichkeiten<\/h3>\n<\/div>\n
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In gew\u00f6hnlicher zweidimensionaler und interaktiver Bildschirmdarstellung k\u00f6nnte die angesprochene Asymmetrie auch dadurch ausgeglichen werden, dass die Anordnung der Akkorde per Knopfdruck zyklisch permutierbar gemacht wird. Durch solche Permutationen k\u00f6nnte im Direktvergleich von Diagrammen auch leicht festgestellt werden, ob verschiedene Skalen die gleiche innere Struktur haben, das heisst ob sie durch intervallgetreue Transpositionen auseinander hervorgehen, wenn sie auf der gleichen Webpage dargestellt w\u00fcrden. Eine von Isaak Newton betrachtete Skala beispielsweise geht aus derjenigen von Mersenne durch eine Transposition um eine reine Quinte hervor, dass entspricht einer zyklischen Permutation um eine Einheit. Diese Zusammenh\u00e4nge sind in Gitterdarstellung direkt ablesbar. Denkt man sich etwa die chromatische Skala von Euler um eine reine grosse Terz nach unten transponiert, dann werden alle zw\u00f6lf Punkte um eine Gittereinheit nach unten ger\u00fcckt, sodass die neue unterste Zeile die T\u00f6ne Des, As, Es und B enth\u00e4lt. An der geometrischen Anordnung der zw\u00f6lf Punkte, welche die innere Struktur repr\u00e4sentiert, hat sich nichts ver\u00e4ndert. Die transponierte Form l\u00e4sst C-Dur als Teil einer chromatischen Skala mit vier B und einem Kreuz erscheinen, und sie unterscheidet sich von der L\u00f6sung von Mersenne (Abbildung 2 rechts) nur in der Intonation einer einzigen Note. Bei Mersenne steht der B-Dur-Dreiklang in pythagoreischer Intonation, seine Quinte ist rein, die grosse Terz im Verh\u00e4ltnis 81\/64 ergibt sich aus vier reinen Quinten (minus zwei Oktaven).<\/p>\n

Mit geringem Programmieraufwand k\u00f6nnten aus dem reichhaltigen Zahlenmaterial des Lexikons Kennzahlen wie die gesamte mittlere quadratische Abweichung der konkreten von den reingestimmten Dreikl\u00e4ngen berechnet werden. Skalen, die durch Transpositionen auseinander hervorgehen, stimmen in der genannten Abweichung \u00fcberein, und aus der Verschiedenheit der Kennzahlen kann mit Sicherheit auf die verschiedene Struktur der Skala geschlossen werden. Damit lassen sich auf halbautomatischem Weg Dubletten und \u00e4quivalente Skalen ermitteln. Die Kenntnis und Sichtbarmachung derartiger Beziehungen w\u00e4re f\u00fcr die Orientierung im doch sehr umfangreichen Zahlen- und Bildmaterial hilfreich. James M. Barbour gibt f\u00fcr sein umfangreiches Zahlenmaterial zu zw\u00f6lfstufigen Skalen durchg\u00e4ngig die mittlere Abweichung und die Standardabweichung zur gleichstufigen Skala in Cent an (Barber 1951). Zweckm\u00e4ssiger w\u00e4re es, die Abweichungen der zw\u00f6lf Durdreikl\u00e4nge von der reinen Intonation in analoger Weise zu bewerten (vgl. Hall 1973), dann bedeuten kleine Werte N\u00e4he zu den im Fokus des\u00a0Lexikons der Stimmungen<\/em>\u00a0stehenden, ideal gestimmter Dreikl\u00e4nge.<\/p>\n

Im Rahmen des vom Schweizerischen Nationalfonds gef\u00f6rderten Projekts\u00a0Sound Colour Space<\/a>\u00a0der Z\u00fcrcher Hochschule der K\u00fcnste wurden auch\u00a0interaktive audiovisuelle Tools<\/a>\u00a0zu syntonischen (d.h. quint- \/ terzbasierten Stimmungen) mit Gitter-, Kreis- und Spiralanordnungen erprobt und im Rahmen eines\u00a0virtuellen Museums<\/a>\u00a0ver\u00f6ffentlicht, wie das Lexikon der Stimmungen mit synthetischen Kl\u00e4ngen.<\/p>\n

Erst in den letzten Jahren ger\u00e4t Veranschaulichung von Musiktheorie und ihre Geschichte als eigenst\u00e4ndiger Zweig der Diagrammatologie mit Bez\u00fcgen zur musikalischen Ikonologie vermehrt ins Blickfeld der Philosophie, \u00c4sthetik und Musikwissenschaft (Kr\u00e4mer 2016, 179\u2013193). Dieses Essay versuchte auf Parallelen zwischen historischen Diagrammen zur Harmonik und zeitgen\u00f6ssischen Darstellungen, die im Umfeld der Digitalisierung und der Digital Humanities \u00fcberhaupt erst m\u00f6glich werden, hinzuweisen. An Diagrammen offenbart sich die Essenz von Theorien und Modellvorstellungen, und sie haben didaktisches Potential, das fast ohne Worte auszukommen scheint. Nicht immer im Laufe der Geschichte wurde der didaktische Wert von Visualisierung gleich bewertet. W\u00e4hrend im 18. Jahrhundert didaktische Veranschaulichung eine untergeordnete Rolle zu spielen schien, hat die oben skizzierte Idee des zyklischen Permutierens von T\u00f6nen und Harmonien in Tonh\u00f6henstrukturen ihre Vorl\u00e4ufer in dynamischen didaktischen Tools des 16. Jahrhunderts. So finden sich in aufwendig gestalteten B\u00fcchern dieser Zeit manchmal auch mehrschichtige Diagramme mit drehbaren Teilen zur Vermittlung elementarmusikalischer Kenntnisse (vgl. Weiss, S. F., 2019).<\/p>\n<\/div>\n

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Zitierte und weiterf\u00fchrende Literatur<\/h3>\n<\/div>\n
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Barbieri, P. (2002).\u00a0The evolution of open-chain enharmonic keyboards c1480\u20131650<\/em>. In:\u00a0Jahrbuch f. Musikwissenschaft<\/em>\u00a0(2002), S. 145\u2013184<\/p>\n

Barbour, J. M. (1951).\u00a0Tuning and temperament. A historical survey.<\/em>\u00a0Nachdruck: East Lansing: Michigan State College Press, Da Capo Press: New York 1972<\/p>\n

Barkowsky, J. (2007).\u00a0Mathematische Quellen der musikalischen Akustik<\/em>. Wilhelmshaven : Florian Noetzel Verlag<\/p>\n

Descartes, R. (1619).\u00a0Compendium Music\u00e6<\/em>, Ms. Middelburg, fol. 171r (c. 1628)<\/p>\n

Duffin, R. W. (2007).\u00a0How Equal Temperament Ruined Harmony (and Why You Should Care)<\/em>. W. W. Norton, New York<\/p>\n

Euler, L. (1739).\u00a0Tentamen novae theoriae musicae.<\/em>\u00a0Petersburg 1739 (S. 147, 279)<\/p>\n

Hall, D. (1973).\u00a0The Objective Measurement of Goodness-of-Fit for Tunings and Temperaments.\u00a0<\/em>In:\u00a0Journal of Music Theory,<\/em>\u00a0Vol. 17, No. 2, pp. 274\u2013290.\u00a0https:\/\/doi.org\/10.2307\/843344<\/a><\/p>\n

Kirnbauer, M. (2002).\u00a0\u00abSi possono suonare i Madrigali del Principe\u00bb \u2013 Die Gamben G. B. Donis und chromatisch-enharmonische Musik in Rom im 17. Jahrhundert<\/em>. In:\u00a0Jahrbuch f. Musikwissenschaft\u00a0<\/em>(2002), S. 229\u2013250.\u00a0http:\/\/doi.org\/10.5169\/seals-835143<\/a><\/p>\n

Kr\u00e4mer, S. (2016).\u00a0Figuration, Anschaung, Erkenntnis \u2013 Grundlinien einer Diagrammatologie.\u00a0<\/em>suhrkamp taschenbuch wissenschaft 2176. 179\u2013193<\/p>\n

Lindley, M & Turner-Smith, R. (1993).\u00a0Mathematical Models of Musical Scales \u2013 A New Approach<\/em>. Verlag f\u00fcr Systematische Musikwissenschaft, Bonn<\/p>\n

Lindley, M. (1987).\u00a0Stimmung und Temperatur.<\/em>\u00a0Geschichte der Musiktheorie\u00a0<\/em>Band 6,\u00a0H\u00f6ren, Messen und Rechnen in der fr\u00fchen Neuzeit,<\/em>\u00a0S. 109\u2013331<\/p>\n

Mersenne, M. (1636).\u00a0Harmonie Universelle, contenant la Theorie et la Pratique de la Musique,\u00a0<\/em>Paris 1636,\u00a0Traitez des Consonances, des Dissonances, des Genres, des Modes & de la Composition<\/em>, Livre Second, Des Dissonances, p.132 (hrsg. von Fr. Lesure, 3 Bde., Faks. P. 1965\u20131975)<\/p>\n

Muzzulini, D. (2015).\u00a0The Geometry of Musical Logarithms.<\/em>\u00a0Acta Musicologica<\/em>\u00a0LXXXVII\/2 (2015), 193\u2013216.\u00a0https:\/\/doi.org\/10.5281\/zenodo.5541789<\/a><\/p>\n

Muzzulini, D. (2017).\u00a0Chromatic Scales, Syntonic chromatic scales<\/em>. In:\u00a0Sound Colour Space\u00a0<\/em>(2017)<\/p>\n

Muzzulini, D. (2020).\u00a0Isaac Newton’s Microtonal Approach to Just Intonation. Empirical Musicology Review<\/em>, Vol 15, No 3-4 (2020), pp. 223\u2013248.\u00a0http:\/\/dx.doi.org\/10.18061\/emr.v15i3-4.7647<\/a><\/p>\n

Praetorius, M. (1619).\u00a0Syntagma musicum<\/em>, Bd. II, Wolfenb\u00fcttel<\/p>\n

Rasch, R. (2002).\u00a0Why were enharmonic keyboards built? – From Nicola Vicentino (1555) to Michael Bulyowsky (1699)<\/em>. In:\u00a0Jahrbuch f. Musikwissenschaft<\/em>\u00a0(2002), 36\u201393<\/p>\n

Schweizer Jahrbuch f\u00fcr Musikwissenschaft\u00a0<\/em>(2002).\u00a0Chromatische und enharmonische Musik,<\/em>\u00a0Neue Folge 22, Redaktion Joseph Williman, Peter Lang, Bern 2003<\/p>\n

Sound Colour Space \u2013 A Virtual Museum<\/em>, Zurich University of the Arts, 2017,\u00a0https:\/\/2017.sound-colour-space.zhdk.ch<\/a><\/p>\n

Wardhaugh, B. (2008).\u00a0Musical logarithms in the seventeenth century: Descartes, Mercator, Newton<\/em>. In:\u00a0Historia Mathematica<\/em>, Volume 35, Issue 1, February 2008, 19\u201336.\u00a0https:\/\/doi.org\/10.1016\/j.hm.2007.05.002<\/a><\/p>\n

Weiss, S. F. (2019).\u00a0Ambrosius Wilfflingseder’s Erotemata musices.<\/em>\u00a0https:\/\/www.thinking3d.ac.uk\/MusicalVolvelles\/<\/a><\/p>\n

Wright, D. (2002).\u00a0The cimbalo chromatico and other Italian string keyboard instruments with divided accidentals<\/em>. In:\u00a0Jahrbuch f. Musikwissenschaft<\/em>\u00a0(2002), 105\u2013136<\/p>\n

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Daniel Muzzulini,<\/strong>\u00a0Wissenschaftlicher Mitarbeiter, Institute for Computer Music and Sound Technology, Z\u00fcrcher Hochschule der K\u00fcnste
\nContact:\u00a0daniel.muzzulini@zhdk.ch<\/a>, Website:\u00a0www.muzzulini.ch<\/a><\/p><\/blockquote>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In their digital \"Lexicon of Moods\", Hans Eugen Frischknecht and Jakob Schmid have graphically depicted over 300 historical moods and made them audible. 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