Diagrammatik der chromatischen Skalen

Die Visualisierungen im digitalen Lexikon der Stimmungen von Hans Eugen Frischknecht und Jakob Schmid lassen die «Dur-Dreiklangtauglichkeit» von Skalen mit 12 Tönen pro Oktave auf einen Blick hervortreten, und machen sie gleichzeitig auch hörbar. Diese besondere Darstellung soll im Folgenden anhand von drei ausgewählten Beispielen erörtert und mit anderen Arten der Veranschaulichung musikalischer Skalen verglichen werden. Daran schliessen sich ein paar eher unsystematische Überlegungen zur Weiterentwicklung von interaktiven Anwendungen zu Tonsystemen und Stimmungen an.

Die Diagramme werden im Lexikon aus den Cent-Abweichungen zur gleichstufigen chromatischen Skala in 12 Halbtöne (12-EDO = Equal Division of the Octave) berechnet, welche in diesem Aufsatz die gleichstufige (chromatische) Skala genannt wird. Über Cent-Angaben können verschiedene Stimmungen miteinander verglichen werden. Die Cent-Skala für Tonhöhen und Intervalle beruht auf der Teilung der Oktave in 1200 gleich grosse Mikrointervalle. Die Halbtöne der gleichstufigen chromatischen Skala messen deshalb 100, die grossen Terzen 400 und die Quinten 700 Cent. Der Durdreiklang in Grundstellung und engster Lage hat demnach die Cent-Werte [0 | 400 |700], wenn man dem Grundton den Wert 0 gibt – allgemein [x | x + 400 | x + 700], wenn x der Cent-Wert des Akkordgrundtons bezüglich des Referenztons c (oder a) ist. Der reingestimmte Durdreiklang hingegen hat (auf das nächste Cent gerundet) die Werte [0 | 386 | 702] und steht in der Frequenzproportion 4 : 5 : 6. Akkorde aus Tönen mit einfachen Grundfrequenzproportionen werden als weitgehend fluktuationsfrei und konsonant empfunden, wenn die beteiligten Töne je ein harmonisches Obertonspektrum haben. Die Zahlen zeigen, dass die Abweichungen der gleichstufigen von den reinen Werten bei der Quinte nur 2 und bei der grossen Terz aber 14 Cent-Einheiten betragen. Die unterschiedliche Wirkung der beiden Dreiklänge liegt hauptsächlich an den verschieden grossen Terzen und an der Klangfarbe.

Lassen sich die Bauprinzipien einer Skala aus dem visualisierten Zahlenmaterial rekonstruieren? Das ist nicht selbstverständlich. Solange primär Durdreiklänge und ihre enharmonischen Äquivalente in Skalen mit zwölf Tönen pro Oktave im Fokus stehen, ist die Darstellung zwar universell einsetzbar, gleichzeitig aber reduziert sie Tonhöhensysteme, die zwei und höherdimensional gedacht sind, in eine einzige Dimension.

Leonhard Euler hat eine chromatische Skala, die einem zweidimensionalen Tonhöhennetz entstammt, vorgeschlagen (Euler 1739, S. 147, 279). Ihre Wiedergabe im Lexikon der Stimmungen ist in Abbildung 1 oben zu sehen. Die Grundtonsymbole, die zwölf kleinen rote Kreise, bilden drei Vierersequenzen, die je auf leicht geneigten parallelen Geradenabschnitten liegen (wenn die beiden C an den Enden der Grafik gedanklich zusammengelegt werden):
f-c-g-d / a-e-h-fis / cis-gis-es-b

Die charakteristische positive Steigung (je 2 Cent pro Quinte) der Geradenabschnitte zeigt an, dass die betreffenden Quinten rein gestimmt sind. Die Skala zerfällt in drei Gruppen zu vier Tönen mit je drei reinen Quintschritten. Diese sind in der obersten Grafik von Abbildung 1 zur Verdeutlichung rot eingerahmt. Die vertikalen Positionen der Grundtonsymbole bestimmen die Intervallstruktur einer Skala vollständig (dies gilt für alle Skalen). Auch die grossen Terzen oder die Quinten bestimmen die Skala vollständig. Die Terz- und Quintsymbole bilden deshalb bei Euler ebenfalls Vierergruppen auf leicht geneigten Geradenabschnitten. Diese redundante Darstellung, der in den 12 Halbton- bzw. Quintschritten enthaltenen Information lässt die Durdreiklänge als Punktekonfigurationen in der Vertikalen hervortreten. Und dank dieser Redundanz erschliessen sich die harmonischen Bauprinzipien einer Skala.

Abb. 1: Bezüglich Durdreiklangreinheit hat das Universum der 12-tönigen Skalen des Lexikons der Stimmungen die beiden Pole Leonhard Euler (oben) und die gleichstufige Skala (Mitte). Die annähernd mitteltönige Stimmung von Michael Praetorius (unten) bewegt sich im Mittelfeld und reduziert Eulers Bevorzugung der Grossterzverwandtschaft zugunsten quintverwandter Durskalen zwischen B-Dur und A-Dur mit acht nahezu harmonischen Durdreiklängen.

Eulers Skala enthält die maximal mögliche Anzahl von sechs idealen Durdreiklängen. Weil bei F, C, G sowie A, E und H alle drei Tonsymbole zusammenfallen, liegt reine Intonation [x | x + 386 | x + 702] vor. Aufgrund ihrer Intervallstruktur ist es in dieser Skala möglich, in den terzverwandten Tonarten C-Dur und A-Dur mit ausnahmslos idealen Durdreiklängen zu musizieren, und die beiden terzverwandten Skalen liegen eine reine grosse Terz im Frequenzverhältnis 5/4 auseinander. Die anderen zehn «Durtonarten» haben alle mehr oder weniger stark modifizierte Dreiklänge. Im hervorgehobenen B-Dur-Dreiklang, beispielsweise, entspricht keines der drei konstituierenden Intervalle der Norm der reinen Stimmung, da alle drei Symbole verschiedene vertikale Positionen einnehmen. Quintverwandte Dreiklänge stehen in den Grafiken jeweils direkt nebeneinander. In Eulers Skala heben sich die Tonarten Es-Dur und As/Gis-Dur in ihrer Intervallstruktur am stärksten von C-Dur und A-Dur ab, denn keiner der gezeichneten Dreiklänge hat die ideale Punktform (die Dreiklänge dieser beiden Skalen sind in der Zeichnung violett umrahmt). Die Fokussierung des Blicks auf jeweils drei benachbarte Akkorde zeigt auch, dass G-Dur und H-Dur (mit blauen Ellipsen hervorgehoben) bei Euler die gleiche Intervallstruktur haben, weil die zugehörigen Symbolmuster deckungsgleich sind. In diesen beiden Tonarten sind die Quinten der Dominantdreiklänge verkleinert, aber ihre grossen Terzen sind rein. Die Subdominate und die Tonika haben die Idealform.

Leichter zu deuten ist die in der Mitte von Abbildung 1 dargestellte Skala. Hier haben alle zwölf Dreiklänge die gleichen Abweichungen von der reinen Intonation, und die drei Linien von Symbolen verlaufen horizontal. Es handelt sich um die gleichstufige Stimmung, die Quintsymbole liegen knapp 2 Cent unter den Grundtonsymbolen (700-702=-2) und die grossen Terzen 14 Cent darüber (400-386=+14). Die Quinten sind also nur wenig kleiner als rein, die grossen Terzen aber merklich weiter als ihre reingestimmte Entsprechung. Ein allfälliger Bedeutungsunterschied der Töne b und ais kann in dieser Konstellation nicht akustisch zum Ausdruck gebracht werden. Während enharmonische Umdeutungen in der gleichstufigen Stimmung kein Intonationsproblem darstellen, beinhaltet die Auswahl von zwölf Tönen in einer reinen syntonischen (das heisst quint-/terzbasierten) Stimmung wie derjenigen von Euler immer auch Entscheidungen über bevorzugte enharmonische Varianten. Der etwas irritierende B-Dur-Dreiklang in Eulers Skala entpuppt sich bei genauerem Hinsehen nämlich als ais-d-f mit einer verminderter Quarte ais-d und einer pythagoreischen Terz d-f, wie die Darstellung von Eulers Skala im Quint-Terzgitter von Abbildung 2 zeigt. In dieser Darstellung werden reine Quinten in der horizontalen und reine grosse Terzen in der vertikalen Richtung angeordnet, sodass den idealen Dur- und Molldreiklängen kleine rechtwinklige Dreiecke entsprechen, der ungewöhnliche «B-Durdreiklang» hingegen besteht aus Eckpunkten des Rechteckgitters und ist ganz anders aus Terzen und Quinten aufgebaut.

Abb. 2: Gitterdarstellung der chromatischen Skala gemäss Leonhard Euler (links) und Marin Mersenne (rechts) Hervorgehoben sind die idealen Dur- und Molldreiklänge von C-Dur sowie der Akkord ais-d-f bzw. b-d-f, der bei Mersenne aus einer pythagoreischen grossen Terz und einer reinen Quinte besteht.

Gitterdarstellungen sind bereits im 17. und im 18. Jahrhundert verwendet worden (Muzzulini 2020, 225). Sie eignen sich nicht direkt für temperierte Stimmungen. Dafür können damit auch syntonische Skalen mit mehr als 12 Tönen pro Oktave dargestellt werden. Ab dem 14. Jahrhundert sind verschiedentlich Skalen mit 17 und mehr Tönen pro Oktave vorgeschlagen worden. In Skalen mit 17 Tönen werden die fünf Notenpaare cis-des, dis-es, fis-ges, gis-as und ais-b typischerweise mit zwei verschiedenen Tonhöhen umgesetzt (vgl. die Beiträge von Martin Kirnbauer, Rudolph Rasch, Denzil Wright und Patrizio Barbieri im Jahrbuch f. Musikwissenschaft 2002). Gitterdarstellungen – auch nicht rechtwinklige – sind in der zeitgenössischen theoretischen Literatur über Stimmungen weit verbreitet, und mit Zusatzinformationen können damit auch mitteltönige und andere Stimmungen veranschaulicht werden (Lindley, 1987, Jahrbuch f. Musikwissenschaft, 2002; Lindley, 1993, S. 28).

Anders als in Eulers Lösung ist es in der Skala von Michael Praetorius (Abb. 1 unten) möglich, in den Tonarten zwischen B-Dur und A-Dur mit Dreiklängen, die alle näher an der Idealform als ihre gleichstufigen Entsprechungen sind, zu musizieren – auf Kosten der restlichen vier Dreiklänge. Modulationen zwischen Durskalen, die im Quintenzirkel C-Dur und G-Dur nahe stehen, führen also nicht zu nennenswerten Intonationsunterschieden. Dafür sind alle Quintschritte mit Ausnahme von gis-es kleiner als rein – und merklich kleiner als in der gleichstufigen Skala, denn die Grundtonsymbole bilden eine nach rechts abfallende Linie. Die sehr grosse verminderte Sexte gis-es, welche die kleinen anderen Quinten kompensiert, wird auch Wolfsquinte genannt. An der Cent-Skala am linken Bildrand sieht man, dass der «Wolf» von Praetorius etwa um ein Viertel eines Halbtons grösser als die Quinte der gleichstufigen Stimmung ist, da die rote Verbindungslinie zwischen gis und es um rund 25 Cent ansteigt.

Abb. 3. Kreisdiagramme aus dem 17. Jahrhundert. Links: Diatonische Skala mit syntonischem Komma («Schisma», 480 : 486 = 80 : 81). Die Zahlen stehen für (geeignet skalierte) Saitenlängen am Monochord. Die Oktave schliesst sich beim «Semitonium majus» (288 (576) | 540 (270)) im Verhältnis 16/15. Das recht ungenau gezeichnete Diagramm entstammt der ältesten erhaltenen Abschrift des heute verschollenen Originals von René Descartes‘ «Compendium musicæ», die etwa 1628 für Isaak Beeckman angefertigt wurde (Descartes (1619, fol. 171r). Rechts: Marin Mersennes Analyse einer chromatischen Skala in reiner Stimmung (Mersenne 1636, 132).

Da im Lexikon der Stimmungen nur oktavperiodische Skalen betrachtet werden, sind ihre Töne genau genommen Oktavklassen oder Tonigkeiten (engl. pitch classes). Dafür bieten sich auch kreisförmige Darstellungen der Töne an. Die von Frischknecht und Schmid verwendete Darstellung zeichnet den C-Dur-Dreiklang am linken und am rechten Ende der Grafik. Vorstellbar wäre auch die Darstellung auf einem Zylindermantel, der dadurch entstünde, dass die Grafik ausgeschnitten und der linke mit dem rechten Bildrand verklebt wird. Die Quintkette bildet darauf eine geschlossene Linie und die Nachbarschaft der drei Durdreiklänge in der C-Dur-Skala wird ersichtlich. Eine entsprechende Übertragung der gleichen Information auf ein Quintzirkel-«Zifferblatt», bei dem die Intonationsänderungen in radialer Richtung eingetragen sind, wäre eine faire, allerdings ebenfalls ungewohnte Darstellung. In kreisförmigen Anordnungen der chromatischen Skala sind die Intervalle häufig als Winkel dargestellt. Das syntonische Komma im Grundfrequenzverhältnis 81/80 misst knapp 22 Cent und müsste in Descartes‘ Kreisdiagramm von Abbildung 3 links einem Winkel von etwas weniger als 6° entsprechen. Im Unterschied zu den uneinheitlichen Winkeln in diesem Manuskript entsprechen die Winkel im lateinischen Erstdruck recht genau den Intervallgrössen, vgl. Muzzulini (2015, 197-199), Wardhaugh (2008). Das Kreisdiagramm von Mersenne in Abbildung 3 rechts ordnet die zwölf Noten der chromatischen Skala auf einem fast regelmässigen Zwölfeck an. Die Verbindungen der Noten sind mit den zugehörigen Frequenzverhältnissen beschriftet. Daraus lässt sich die Gitterdarstellung von Abbildung 2 rechts ableiten.

In gewöhnlicher zweidimensionaler und interaktiver Bildschirmdarstellung könnte die angesprochene Asymmetrie auch dadurch ausgeglichen werden, dass die Anordnung der Akkorde per Knopfdruck zyklisch permutierbar gemacht wird. Durch solche Permutationen könnte im Direktvergleich von Diagrammen auch leicht festgestellt werden, ob verschiedene Skalen die gleiche innere Struktur haben, das heisst ob sie durch intervallgetreue Transpositionen auseinander hervorgehen, wenn sie auf der gleichen Webpage dargestellt würden. Eine von Isaak Newton betrachtete Skala beispielsweise geht aus derjenigen von Mersenne durch eine Transposition um eine reine Quinte hervor, dass entspricht einer zyklischen Permutation um eine Einheit. Diese Zusammenhänge sind in Gitterdarstellung direkt ablesbar. Denkt man sich etwa die chromatische Skala von Euler um eine reine grosse Terz nach unten transponiert, dann werden alle zwölf Punkte um eine Gittereinheit nach unten gerückt, sodass die neue unterste Zeile die Töne Des, As, Es und B enthält. An der geometrischen Anordnung der zwölf Punkte, welche die innere Struktur repräsentiert, hat sich nichts verändert. Die transponierte Form lässt C-Dur als Teil einer chromatischen Skala mit vier B und einem Kreuz erscheinen, und sie unterscheidet sich von der Lösung von Mersenne (Abbildung 2 rechts) nur in der Intonation einer einzigen Note. Bei Mersenne steht der B-Dur-Dreiklang in pythagoreischer Intonation, seine Quinte ist rein, die grosse Terz im Verhältnis 81/64 ergibt sich aus vier reinen Quinten (minus zwei Oktaven).

Mit geringem Programmieraufwand könnten aus dem reichhaltigen Zahlenmaterial des Lexikons Kennzahlen wie die gesamte mittlere quadratische Abweichung der konkreten von den reingestimmten Dreiklängen berechnet werden. Skalen, die durch Transpositionen auseinander hervorgehen, stimmen in der genannten Abweichung überein, und aus der Verschiedenheit der Kennzahlen kann mit Sicherheit auf die verschiedene Struktur der Skala geschlossen werden. Damit lassen sich auf halbautomatischem Weg Dubletten und äquivalente Skalen ermitteln. Die Kenntnis und Sichtbarmachung derartiger Beziehungen wäre für die Orientierung im doch sehr umfangreichen Zahlen- und Bildmaterial hilfreich. James M. Barbour gibt für sein umfangreiches Zahlenmaterial zu zwölfstufigen Skalen durchgängig die mittlere Abweichung und die Standardabweichung zur gleichstufigen Skala in Cent an (Barber 1951). Zweckmässiger wäre es, die Abweichungen der zwölf Durdreiklänge von der reinen Intonation in analoger Weise zu bewerten (vgl. Hall 1973), dann bedeuten kleine Werte Nähe zu den im Fokus des Lexikons der Stimmungen stehenden, ideal gestimmter Dreiklänge.

Im Rahmen des vom Schweizerischen Nationalfonds geförderten Projekts Sound Colour Space der Zürcher Hochschule der Künste wurden auch interaktive audiovisuelle Tools zu syntonischen (d.h. quint- / terzbasierten Stimmungen) mit Gitter-, Kreis- und Spiralanordnungen erprobt und im Rahmen eines virtuellen Museums veröffentlicht, wie das Lexikon der Stimmungen mit synthetischen Klängen.

Erst in den letzten Jahren gerät Veranschaulichung von Musiktheorie und ihre Geschichte als eigenständiger Zweig der Diagrammatologie mit Bezügen zur musikalischen Ikonologie vermehrt ins Blickfeld der Philosophie, Ästhetik und Musikwissenschaft (Krämer 2016, 179–193). Dieses Essay versuchte auf Parallelen zwischen historischen Diagrammen zur Harmonik und zeitgenössischen Darstellungen, die im Umfeld der Digitalisierung und der Digital Humanities überhaupt erst möglich werden, hinzuweisen. An Diagrammen offenbart sich die Essenz von Theorien und Modellvorstellungen, und sie haben didaktisches Potential, das fast ohne Worte auszukommen scheint. Nicht immer im Laufe der Geschichte wurde der didaktische Wert von Visualisierung gleich bewertet. Während im 18. Jahrhundert didaktische Veranschaulichung eine untergeordnete Rolle zu spielen schien, hat die oben skizzierte Idee des zyklischen Permutierens von Tönen und Harmonien in Tonhöhenstrukturen ihre Vorläufer in dynamischen didaktischen Tools des 16. Jahrhunderts. So finden sich in aufwendig gestalteten Büchern dieser Zeit manchmal auch mehrschichtige Diagramme mit drehbaren Teilen zur Vermittlung elementarmusikalischer Kenntnisse (vgl. Weiss, S. F., 2019).

Barbieri, P. (2002). The evolution of open-chain enharmonic keyboards c1480–1650. In: Jahrbuch f. Musikwissenschaft (2002), S. 145–184

Barbour, J. M. (1951). Tuning and temperament. A historical survey. Nachdruck: East Lansing: Michigan State College Press, Da Capo Press: New York 1972

Barkowsky, J. (2007). Mathematische Quellen der musikalischen Akustik. Wilhelmshaven : Florian Noetzel Verlag

Descartes, R. (1619). Compendium Musicæ, Ms. Middelburg, fol. 171r (c. 1628)

Duffin, R. W. (2007). How Equal Temperament Ruined Harmony (and Why You Should Care). W. W. Norton, New York

Euler, L. (1739). Tentamen novae theoriae musicae. Petersburg 1739 (S. 147, 279)

Hall, D. (1973). The Objective Measurement of Goodness-of-Fit for Tunings and Temperaments. In: Journal of Music Theory, Vol. 17, No. 2, pp. 274–290. https://doi.org/10.2307/843344

Kirnbauer, M. (2002). «Si possono suonare i Madrigali del Principe» – Die Gamben G. B. Donis und chromatisch-enharmonische Musik in Rom im 17. Jahrhundert. In: Jahrbuch f. Musikwissenschaft (2002), S. 229–250. http://doi.org/10.5169/seals-835143

Krämer, S. (2016). Figuration, Anschaung, Erkenntnis – Grundlinien einer Diagrammatologie. suhrkamp taschenbuch wissenschaft 2176. 179–193

Lindley, M & Turner-Smith, R. (1993). Mathematical Models of Musical Scales – A New Approach. Verlag für Systematische Musikwissenschaft, Bonn

Lindley, M. (1987). Stimmung und Temperatur. Geschichte der Musiktheorie Band 6, Hören, Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit, S. 109–331

Mersenne, M. (1636). Harmonie Universelle, contenant la Theorie et la Pratique de la Musique, Paris 1636, Traitez des Consonances, des Dissonances, des Genres, des Modes & de la Composition, Livre Second, Des Dissonances, p.132 (hrsg. von Fr. Lesure, 3 Bde., Faks. P. 1965–1975)

Muzzulini, D. (2015). The Geometry of Musical Logarithms. Acta Musicologica LXXXVII/2 (2015), 193–216. https://doi.org/10.5281/zenodo.5541789

Muzzulini, D. (2017). Chromatic Scales, Syntonic chromatic scales. In: Sound Colour Space (2017)

Muzzulini, D. (2020). Isaac Newton’s Microtonal Approach to Just Intonation. Empirical Musicology Review, Vol 15, No 3-4 (2020), pp. 223–248. http://dx.doi.org/10.18061/emr.v15i3-4.7647

Praetorius, M. (1619). Syntagma musicum, Bd. II, Wolfenbüttel

Rasch, R. (2002). Why were enharmonic keyboards built? – From Nicola Vicentino (1555) to Michael Bulyowsky (1699). In: Jahrbuch f. Musikwissenschaft (2002), 36–93

Schweizer Jahrbuch für Musikwissenschaft (2002). Chromatische und enharmonische Musik, Neue Folge 22, Redaktion Joseph Williman, Peter Lang, Bern 2003

Sound Colour Space – A Virtual Museum, Zurich University of the Arts, 2017, https://2017.sound-colour-space.zhdk.ch

Wardhaugh, B. (2008). Musical logarithms in the seventeenth century: Descartes, Mercator, Newton. In: Historia Mathematica, Volume 35, Issue 1, February 2008, 19–36. https://doi.org/10.1016/j.hm.2007.05.002

Weiss, S. F. (2019). Ambrosius Wilfflingseder’s Erotemata musices. https://www.thinking3d.ac.uk/MusicalVolvelles/

Wright, D. (2002). The cimbalo chromatico and other Italian string keyboard instruments with divided accidentals. In: Jahrbuch f. Musikwissenschaft (2002), 105–136